萊昂哈德·歐拉的職業生涯是什麼樣的 他學術上的主要成就有哪些
職業生涯
歐拉年輕時曾研讀神學，他一生虔誠、篤信上帝，並不能容許任何詆毀上帝的言論在他面前發表。有一個廣泛流傳的傳說說到，歐拉在葉卡捷琳娜二世的宮廷裡，挑戰當時造訪宮廷的無神論者德尼·狄德羅：「先生， ，所以上帝存在，請回答!」不懂數學的德尼完全不知怎麼應對，只好投降。但是由於狄德羅事實上也是一位有作為的數學家，這個傳說有可能屬於虛構。
歐拉是史上發表論文數第二多的數學家，全集共計75卷;他的紀錄一直到了20世紀才被保羅·埃爾德什打破。後者發表的論文達1525篇，著作有32部。歐拉在他的時代，產量之多，無人能及。歐拉實際上支配了18世紀至今的數學;對於當時新數學分支微積分，他推導出了很多結果。很多數學的分枝，也是由歐拉所創或因而有了極大的進展。
在1765年至1771年據說是因歐拉雙眼直接觀察太陽，雙眼先後失明。儘管人生最後7年，歐拉的雙目完全失明，他還是以驚人的速度產出了生平一半的著作。
歐拉著作的驚人多產並不是偶然的，他可以在任何不良的環境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩.他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以後， 也沒有停止對數學的研究，在失明後的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文.19世紀偉大數學家高斯(Gauss，1777-1855年)曾說："研究歐拉的著作永遠是瞭解數學的最好方法."
歐拉的父親保羅·歐拉(Paul Euler)也是一個數學家，原希望小歐拉學神學，同時教他一點數學.由於小歐拉的才人和異常勤奮的精神，又受到約翰·伯努利的賞識和特殊指導，當他在19歲時寫了一篇關於船桅的論文，獲得巴黎科學院的獎的獎金後，他的父親就不再反對他攻讀數學了.
1725年約翰·伯努利的兒子丹尼爾·伯努利赴俄國，並向沙皇喀德林一世推薦了歐拉，這樣，在1727年5月17日歐拉來到了彼得堡.1733年，年僅26歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授.1735年，歐拉解決了一個天文學的難題(計算慧星軌道)，這個問題經幾個著名數學家幾個月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發明的方法，三天便完成了.然而過度的工作使他得了眼病，並且不幸右眼失明了，這時他才28歲.1741年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數學所所長，直到1766年，後來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最後完全失明.不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了.
沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發誓要把損失奪回來.在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最後的時刻，在一塊大黑板上疾書他發現的公式，然後口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉(數學家和物理學家)筆錄.歐拉完全失明以後，仍然以驚人的毅力與黑暗搏鬥，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久.
歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠複述年青時代筆記的內容，心算並不限於簡單的運算，高等數學一樣可以用心算去完成.有一個例子足以說明他的本領，歐拉的兩個學生把一個複雜的收斂級數的17項加起來，算到第50位數字，兩人相差一個單位，歐拉為了確定究竟誰對，用心算進行全部運算，最後把錯誤找了出來.歐拉在失明的17年中;還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多複雜的分析問題。
歐拉的風格是很高的，拉格朗日是稍後於歐拉的大數學家，從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生.等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈讚揚，1759年10月2日歐拉在回信中盛稱拉格朗日的成就，並謙虛地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發表，使年青的拉格朗日的工作得以發表和流傳，並贏得巨大的聲譽.他晚年的時候，歐洲所有的數學家都把他當作老師，著名數學家拉普拉斯(Laplace)曾說過："歐拉是我們的導師." 歐拉充沛的精力保持到最後一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發現不久，歐拉就寫出了計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑，喝完茶後，突然疾病發作，煙斗從手中落下，口裡喃喃地說："我死了"，歐拉終於"停止了生命和計算"。
學術成就
數學史上公認的4名最偉大的數學家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。阿基米德有「翹起地球」的豪言壯語，牛頓因為蘋果聞名世界，高斯少年時就顯露出計算天賦，唯獨歐拉沒有戲劇性的故事讓人印象深刻。
然而，幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、復變函數的歐拉公式……歐拉還是數學史上最多產的數學家，他一生寫下886種書籍論文，平均每年寫出800多頁，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作《無窮小分析引論》、《微分學》、《積分學》是18世紀歐洲標準的微積分教科書。歐拉還創造了一批數學符號，如f(x)、Σ、i、e等等，使得數學更容易表述、推廣。並且，歐拉把數學應用到數學以外的很多領域。
法國大數學家拉普拉斯曾說過一句話——讀讀歐拉，他是所有人的老師。中國科學院數學與系統科學研究院研究員李文林表示：「歐拉其實是大家很熟悉的名字，在數學和物理的很多分支中到處都是以歐拉命名的常數、公式、方程和定理，他的探索使得科學更接近我們現在的形態。」
他讓微積分長大成人
恩格斯曾說，微積分的發明是人類精神的最高勝利。1687年，牛頓在《自然哲學數學原理》一書中首次公開發表他的微積分學說，幾乎同時，萊布尼茨也發表了微積分論文，但牛頓、萊布尼茨創始的微積分基礎不穩，應用範圍也有限。18世紀一批數學家拓展了微積分，並拓廣其應用產生一系列新的分支，這些分支與微積分自身一起形成了被稱為「分析」的廣大領域。李文林說：「歐拉就生活在這個分析的時代。如果說在此之前數學是代數、幾何二雄並峙，歐拉和18世紀其他一批數學家的工作則使得數學形成了代數、幾何、分析三足鼎立的局面。如果沒有他們的工作，微積分不可能春色滿園，也許會打不開局面而荒蕪凋零。歐拉在其中的貢獻是基礎性的，被尊為『分析的化身』。」
中國科學院數學與系統科學研究院研究員胡作玄說：「牛頓形成了一個突破，但是突破不一定能形成學科，還有很多遺留問題。」比如，牛頓對無窮小的界定不嚴格，有時等於零有時又參與運算，被稱為「消逝量的鬼魂」，當時甚至連教會神父都抓住這點攻擊牛頓。另外，由於當時函數有局限，牛頓和萊布尼茨只涉及到少量函數及其微積分的求法。而歐拉極大地推進了微積分，並且發展了很多技巧。
「在分析之前，數學主要是解決常量、勻速運動問題。18世紀工業革命時，以蒸汽機紡織機等機械為主體技術得到廣泛運用，但如果沒有微積分、沒有分析，就不可能對機械運動與變化進行精確計算。」李文林表示，到為止，微積分和微分方程仍然是描寫運動的最有效工具，教科書中陳述的方法，不少屬歐拉的貢獻。更重要的是，牛頓、萊布尼茨微積分的對象是曲線，而歐拉明確地指出，數學分析的中心應該是函數，第一次強調了函數的角色，並對函數的概念作了深化。
變分法來源於微積分，後來由歐拉和拉格朗日從不同的角度把它發展成一門獨立學科，用於求解極值問題。而變分學起源頗富戲劇性——1696年，歐拉的老師、巴塞爾大學教授約翰·伯努利提出這樣一個問題，並向其他數學家挑戰：設想一個小球從空間一點沿某條曲線滾落到(不在同一垂直線上的)另外一點，問什麼形狀的曲線使球降落用時最短。這就是著名的「最速降線問題」，半年之後仍沒人解出，於是伯努利更明確地表示「即使是那些對自己的方法自視甚高的數學家也解決不了這個問題」。有人說他在影射牛頓，因為伯努利是萊布尼茨的追隨者，而萊布尼茨和牛頓正因為微積分優先權的問題在「打仗」，並導致歐洲大陸和英國數學家的分裂。
當時牛頓任倫敦造幣局局長。有一天他收到一個法國朋友轉寄的「挑戰書」，於是吃過晚飯後挑燈夜戰，天亮前解了出來，匿名發表在劍橋大學《哲學會刊》。雖是匿名，但約翰·伯努利看到之後驚呼：「從這鋒利的爪我認出了這頭雄獅。」後來伯努利兄弟和萊布尼茨也都解出了這個問題，發表在同一期刊物上。
在這個問題中，變量本身就是函數，因此比微積分的極大極小值問題更為複雜。這個問題和其他一些類似問題的解決，成為變分法的起源。歐拉找到了解決這類問題的一般方法，教科書中變分法的基本方程就叫歐拉方程。
歐拉13歲上大學時，約翰·伯努利已經是歐洲很有名的數學家，伯努利後來對歐拉說，「我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。」
全才數學家
李文林說：「除了分析，很多數學領域都繞不開歐拉的名字。如數論，高斯說數學是科學的皇后，而數論是數學的皇后，其難度和地位可想而知。」代數數論的形成和費馬大定理有很深的關係。費馬17世紀提出的一個猜想——方程 ，當n≥3時沒有整數解。費馬猜想也稱費馬大定理，費馬在提出這一猜想的同時，在紙邊寫了一句話宣稱：「我已找到了一個奇妙的證明，但書邊空白太窄，寫不下。」於是費馬的證明已成千古之謎。此後經過300年，直到1993年費馬大定理才被英國數學家最終解決。整個18世紀，數學家們都想解決這個猜想，但只有歐拉作出了唯一的成果，證明了n=3的情況，成為費馬大定理研究的第一個突破。
歐拉是解析數論的奠基人，他提出歐拉恆等式，建立了數論和分析之間的聯繫，使得可以用微積分研究數論。後來，高斯的學生黎曼將歐拉恆等式推廣到複數，提出了黎曼猜想，至今沒有解決，成為向21世紀數學家挑戰的最重大難題之一。
「在幾何方面，歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，這也成為圖論、拓撲學的濫觴。」李文林說。哥尼斯堡曾是德國城市，後屬蘇聯。普雷格爾河穿城而過，並繞流河中一座小島而分成兩支，河上建了7座橋。傳說當地居民想設計一次散步，從某處出發，經過每座橋回到原地，中間不重複。李文林說：「這就是今天的『一筆畫』問題，但在當時沒人能解決。歐拉將這個問題變成一個數學模型，用點和線畫出網絡狀圖，證明這種走法不存在，解決了哥尼斯堡七橋問題。對此類問題的討論研究，事實上引導了圖論和拓撲學的發展。」
拓撲學中的歐拉示性數也溯源於歐拉1752年提出的關於凸多面體的一條定理：
在一凸多面體中，頂點數-稜邊數+面數=2。
陳省身曾指出歐拉示性數是很多問題和解決辦法的來源，對幾何學的影響是根本性的。李文林說：「因為數學好，歐拉得以解決很多其他領域的問題。物理、力學、天文學、航海、大地測量等等到處都有歐拉的貢獻，他是典型的全才數學家。牛頓、萊布尼茨發明的微積分可以說是『原生態』，而歐拉18世紀寫的文章我們現在依然能讀，可以說歐拉等人使得數學特別是分析向現代形式發展。」
最多產的數學家
歐拉是歷史上最多產的數學家。瑞士自然科學基金會組織編寫《歐拉全集》，計劃出84卷，每卷都是4開本(一張報紙大小)。如果按每本300頁計算，歐拉從18歲開始每天得寫1張半紙。然而這些只是遺存的作品，歐拉的手稿在1771年彼得堡大火中還丟失了一部分。歐拉曾說他的遺稿大概夠彼得堡科學院用20年。但實際上在他去世後的第80年，彼得堡科學院院報還在發表他的論著。
「天才在於勤奮，歐拉就是這條真理的化身。」李文林表示，「很多科學家都很勤奮，而歐拉最為典型。他失明後的十多年都是在完全看不見的情況下作研究。歐拉心算能力很強，可以通過口述讓別人記錄。有一次歐拉的兩個學生算無窮級數求和，算到第17項時兩人在小數點後第50位數字上發生爭執，歐拉這時進行心算，迅速給出了正確答案。」
「高斯的神童故事雖然有趣，但並不是每個人都是神童。即使是身為神童的高斯，其勤奮也是出名的。可以說凡有大成就的數學家必有大勤奮。」李文林舉例說，被譽為「現代分析之父」的德國數學家魏爾斯特拉斯也是異常勤奮。大學畢業後他在一所偏僻的中學任教14年，教數學、德語、書法、體育，每天晚上以驚人的毅力堅持研究，當時工資很低，連投稿的郵費都沒有。後來由於偶然的機會他的研究論文被德國數學家克萊爾創辦的數學雜誌發表出來(克萊爾雜誌以幫助沒出名的年輕學子發表創新成果而著稱)，震驚了歐洲科學界。
胡作玄認為，歐拉的成功說明了一個人的潛能。「高斯曾說，要像歐拉那樣做，我的眼睛也要瞎了。一個人要想做事是沒有問題的，只是現在社會比較複雜，我們應該為科學而科學，為藝術而藝術。」
除了做學問，歐拉還很有管理天賦，他曾擔任德國柏林科學院院長助理職務，並將工作做得卓有成效。李文林說：「有人認為科學家尤其數學家都是些怪人，其實只不過數學家會有不同的性格、閱歷和命運罷了。牛頓、萊布尼茨都終身未婚，歐拉卻不同。」歐拉喜歡音樂、生活豐富多彩，結過兩次婚，生了13個孩子，存活5個，據說工作時往往兒孫繞膝。他去世的那天下午，還給孫女上數學課，跟朋友討論天王星軌道的計算。突然說了一句「我要死了」，說完就倒下，停止了生命和計算。
回顧歐拉的一生，李文林認為：「雖然他20歲離開瑞士，一直沒有回去過，但他卻是一個愛國者，至死沒有改變國籍。所以現在我們還能說他是瑞士數學家。」
「牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的數學家。後來隨著科學的發展，全才越來越少，有人說龐加萊也許是最後一個。」但是數學並不會因此枯萎，李文林說：「18世紀末曾有一種悲觀主義在數學家中蔓延，連拉格朗日這樣的大數學家都認為數學到頭了，但事實相反，19世紀初非歐幾何的發現、群論的創立以及微積分嚴格化的突破，使數學獲得了意想不到的蓬勃發展。現代數學，特別是跟計算機結合起來之後，肯定還會有新的形態。」
主要成就
各領域貢獻
在數學領域內，18世紀可正確地稱為歐拉世紀。歐拉是18世紀數學界的中心人物。他是繼牛頓(Newton)之後最重要的數學家之一。在他的數學研究成果中，首推第一的是分析學。歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布尼茨學派的分析學內容進行整理，為19世紀數學的發展打下了基礎。他還把微積分法在形式上進一步發展到複數範圍，並對偏微分方程，橢圓函數論，變分法的創立和發展留下先驅的業績。在《歐拉全集》中，有17卷屬於分析學領域。他被同時代的人譽為「分析的化身」。
1.數論
歐拉的一系列成奠定作為數學中一個獨立分支的數論的基礎。歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關。歐拉在數論中最重要的發現是二次反律。
2.代數
歐拉《代數學入門》一書，是16世紀中期開始發展的代數學的一個系統總結。
3.無窮級數
歐拉的《微分學原理》(Introductio calculi differentialis，1755)是有限差演算的第一部論著，他第一個引進差分算子。歐拉在大量地應用冪級數時，還引進了新的極其重要的傅裡葉三角級數類。1777年，為了把一個給定函數展成在(0，「180」)區間上的餘弦級數，歐拉又推出了傅裡葉係數公式。歐拉還把函數展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在後來的解析函數一般理論中佔有重要的地位。他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義。他還提出了兩種求和法。這些豐富的思想，對19世紀末，20世紀初發散級數理論中的兩個主題，即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響。
4.函數概念
18世紀中葉，分析學領域有許多新的發現，其中不少是歐拉自已的工作。它們系統地概括在歐拉的《無窮分析引論》、《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中。這三部書是分析學發展的里程碑四式的著作。
5.初等函數
《無窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函數論。其中，第八章研究圓函數，第一次闡述了三角函數的解析理論，並且給出了棣莫弗(de Moivre)公式的一個推導。歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數函數和對數函數，他給出著名的表達式——歐拉恆等式(表達式中用 表示趨向無窮大的數;1777年後，歐拉用 表示虛數單位 )，但僅考慮了正自變量的對數函數。1751年，歐拉發表了完備的複數理論。
6.單復變函數
通過對初等函數的研究，達朗貝爾和歐拉在1747-1751年間先後得到了(用現代數語表達的)複數域關於代數運算和超越運算封閉的結論。他們兩人還在分析函數的一般理論方面取得了最初的進展。
7.微積分學
歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方法作了最詳盡、最有系統的解說，他以其眾多的發現豐富可無窮小分析的這兩個分支。
8.微分方程
《積分原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏方程理論方面的眾多發現。他和其他數學家在解決力學、物理問題的過程中創立了微分方程這門學科。
在常微分方程方面，歐拉在1743年發表的論文中，用代換給出了任意階常係數線性齊次方程的古典解法，最早引人了「通解」和「特解」的名詞。1753年，他又發表了常係數非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數逐次降低。
歐拉在18世紀30年代就開始了對偏微分程的研究。他在這方面最重要的工作，是關於二階線性方程的。
9.變分法
1734年，他推廣了最速降線問題。然後，著手尋找關於這種問題的更一般方法。1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》一書出版。這是變分學史上的里程碑，它標誌著變分法作為一個新的數學分析的誕生。
10.幾何學
坐標幾何方面，歐拉的主要貢獻是第一次在相應的變換裡應用歐拉角，徹底地研究了二次曲面的一般方程。
微分幾何方面，歐拉於1736年首先引進了平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何研究。1760年，歐拉在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論。這本著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，是微分幾何發展史上的里程碑。
歐拉對拓撲學的研究也是具有第一流的水平。1735年，歐拉用簡化(或理想化)的表示法解決了著名的歌尼斯堡七橋遊戲問題，得到了具有拓撲意義的河-橋圖的判斷法則，即現今網絡論中的歐拉定理。
11.力學
歐拉將數學分析方法用於力學，在力學各個領域中都有突出貢獻;他是剛體動力學和流體力學的奠基者，彈性系統銷定性理論的開創人。在1736年出版的兩卷集《力學或運動科學的分析解說》中，他考慮了自由質點和受約束質點的運動微分方程及其解。歐拉在書中把力學解釋為「運動的科學」，不包括「平衡的科學」即靜力學。在力學原理方面，歐拉贊成P.-L.M.de馬保梯的最小作用量原理。在研究剛體運動學和剛體動力學中，他得出最基本的結果，其中有：剛體定點有限轉動等價於繞過定點某一軸的轉動，剛體定點運動可用三個角度(稱為歐拉角)的變化來描述;剛體定點轉動時角速度變化和外力矩的關係;定點剛體在不受外力矩時的運動規律(稱為定點運動的歐拉情況，這一成果1834年由L.潘索作出幾何解釋),以及自由剛體的運動微分方程等。這些成果均載於他的專著《剛體運動理論》(1765)一書中。歐拉認為，質點動力學微分方程可以應用於液體(1750)。他曾用兩種方法來描述流體的運動，即分別根據空間固定點(1755)和根據確定流體質點(1759)描述流體速度場。這兩種方法通常稱為歐拉表示法和拉格朗日表示法。歐拉奠定了理想流體(假設流體不可壓縮，且其粘性可忽略)的運動理論基礎，給出反映質暈守恆的連續性方程(1752)和反映動量變化規律的流體動力學方程(1755)。 歐拉研究過弦、桿等彈性系統的振動。他和丹尼爾第一·伯努利一起分析過上端懸掛著的重鏈的振動以及相應的離散模型(掛有一串質量的線)的振動。他在丹尼爾第一· 伯努利的幫助下，得到彈性受壓細桿在失穩後的撓曲線——彈性曲線(elastica)的精確解。能使細桿產生這種撓曲的最小壓力後被稱為細桿的歐拉臨界載荷。歐拉在應用力學如彈道學、船舶理論、月球運動理論等方面也有研究。
其他貢獻
歐拉的一生，是為數學發展而奮鬥的一生，他那傑出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮鬥精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的.歐拉還創設了許多數學符號，例如π(1736年)，i(1777年)，e(1748年)，sin和cos(1748年)，tg(1753年)，△x(1755年)，Σ(1755年)，f(x)(1734年)等.
歐拉和丹尼爾·伯努利一起，建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長桿上的力矩正比於物質的彈性和通過質心軸和垂直於兩者的截面的慣性動量。
他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的歐拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波。
他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人，這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。
在數論裡他引入了歐拉函數。
自然數的歐拉函數被定義為小於並且與互質的自然數的個數。例如φ(8)=4，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。
在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數為基礎的。
在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。
他在1735年由於解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲。
歐拉將虛數的冪定義為歐拉公式，它成為指數函數的中心。
在初等分析中，從本質上來說，要麼是指數函數的變種，要麼是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為「最卓越的數學公式'」的則是歐拉公式的一個簡單推論(通常被稱為歐拉恆等式)。
在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數。他是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效。
在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部"為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的"著作。
在經濟學方面，歐拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在規模報酬不變的情形下，總收入和產出將完全耗盡。
在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單聯通多面體的邊、頂點和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之間存在的關係。
在1736年，歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法 》，對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。
數獨是歐拉發明的拉丁方塊的概念，在當時並不流行，直到20世紀由平凡日本上班族鍛治真起，帶起流行。