羅素悖論的出現為什麼引發了第三次數學危機？
數學基礎的第三次危機，是由1897年的突然衝擊而出現的;到現在雖然已經超過了一個世紀，但從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論而造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且集合論在實際上已經成為了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
1897年意大利數學家布拉裡.福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論。兩年後，康托發現了很相似的悖論。福爾蒂和康托的悖論只涉及到集合論中的結果，沒有引起當時數學家們的足夠重視。但羅素於1901年5月發現了一個悖論。它除了涉及集合概念本身外不需要別的概念。哲學家羅素
在描述羅素悖論之前，請首先注意：集合，或者是它們本身的成員，或者不是它們本身的成員。例如，抽像概念的集合本身是抽像的概念，但是所有人的集合不是一個人。再則，所有集合的集合本身是一個集合，但是所有鳥兒的集合不是一隻鳥。假設M表示是它們本身的成員的所有集合的集合。而N表示不是它們本身的成員的所有集合的集合。然後問：集合N是否是它本身的成員。顯然，如果N是它本身的成員，則N是M的成員而不是N的成員，於是N不是它本身的成員。另一方面，如果N不是它本身的成員，則N是N的成員，而不是M的成員，於是N是它本身的成員。悖論在於：無論哪種情況，我們都將導致矛盾。
羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中，最著名的是羅素於1919年給出的，它涉及到某村理髮師的困境。理髮師宣佈了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且只給村子裡這樣的人刮臉。當人們試圖答覆下列疑問時，就認識到了這種情況的變化性質：「理髮師是否自己給自己刮臉?」如果他給自己刮臉。那麼他就不符合他的原則;如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉。
羅素悖論使整個數學大廈動搖了。當弗雷格已經完成他的關於算術基礎的兩冊巨著《算術的基本法則》的最後一冊時，羅素通信告訴了他這個悖論。弗雷格在其論著的末尾以悲哀的話語寫道：「一位科學家不會碰到比這更痛苦的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待複印的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地」。於是，他終結了這不止12年的辛勤勞動。狄德金原來打算把《連續性及無理數》第3版複印，這時也把稿件抽了回來。發現拓撲學中「不動點原理」的布勞威也認為自己過去作的工作都是「廢話」，聲稱要放棄不動點原理。
羅素悖論的「破壞力」還不僅局限在數學領域，只要把羅素悖論的陳述略加修改，即用邏輯的術語來代替集合論中的術語，羅素悖論就可以推廣到邏輯領域。這樣，羅素悖論就不僅觸及到數學的基礎理論本身，它涉及到了一向被認為極為嚴謹的兩門科學 — 數學和邏輯學。
實際上，早在兩千多年前，邏輯學上就已經有人提出了類似的悖論。例如，據說公元前4世紀的歐伯利得曾提出悖論：「我現在正在做的這一陳述是假的。」如果這個陳述是真的， 則它是假的;然而，如果這個陳述是假的，則它必定是真的。於是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎麼也逃避不了矛盾。更早的還有公元前六世紀，克里特人埃皮門尼德提出的悖論：「克利特人總是說謊的人」。只要簡單分析一下，就能揭示出這句話也是自相矛盾的。
集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從悖論被發現之後，關於這一課題發表了大量的文章，為解決它們作過了大量的嘗試。
就數學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次這樣的嘗試是策梅羅於1908年做出的。以後還有多人進行加工。但是，此種方式曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論;此外，它不能保證將來不出現別種悖論。
另一種方式既能理解又能排除已知的悖論。如果仔細地檢查，就會看到：上面的每一個悖論，都涉及一個集合S和S的一個成員m(而m是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是「非斷言的」，而非斷言的定義在某種意義上是循環的。例如，考慮羅素的理髮師悖論，用m標誌理髮師，用S標誌理髮師那個村的所有成員的集合，則m被非斷言地定義為「S的給並且只給不給自己刮臉的人刮臉的那個成員」。此定義的循環的性質是顯然的－理髮師的定義涉及村子的成員，並且，理髮師本身就是村子的成員。龐加萊認為出現矛盾的原因在於非斷言的定義。並且，羅素在其惡性循環原則中表示過同樣的觀點：沒有一個集合S被允許包括只能用S定義的成員m，或者涉及或先假定S的成員m。
因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的已知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不願丟棄的。例如定理「每一個具有上界的實數非空集合有最小上界(上確界)。」數學中有許多類似的非斷言定義的例子，雖然它們有一些可以設法避開。但數學家們卻不願迴避問題的存在。
解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結。這帶來了對邏輯基礎的全面研究。設想：可能通過三值邏輯的使用擺脫悖論的困難是一種很引人入勝的想法。例如，在上面給出的羅素悖論中，可以看到：「N是它自己的成員」這句話既不是真的，也不是假的。在這裡，第三種可能性會產生幫助。用T來表示一個命題為「真」，用F來表示一個命題為「假」，而第三種既非T又非F的性質用問號「?」來表示。如果我們能將這類陳述簡單的分類為「?」，這個問題也就解決了。
從1900年到1930年左右，數學的第三次危機使許多數學家捲入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來的不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏輯主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派。它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中儘管言語尖刻，好像勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而有很多變化。1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論冷談了下來。此後，各派力量沿著自己的道路發展演化。儘管爭論的問題遠未解決，但大部分數學家並不大關心哲學問題。直到近年，數學哲學問題才又激起人們的興趣。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了。這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。經過「悖論」大辯論的洗禮，現代公理集合論的一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次數學危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。