歷史上少見的通才——萊布尼茨，萊布尼茨有哪些輝煌成就
1646年7月1日，戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨出生於神聖羅馬帝國的萊比錫，祖父三代人均曾在薩克森政府供職，父親是Friedrich Leibnutz，母親是Catherina Schmuck。長大後，萊布尼茨名字的拼法才改成"Leibniz"，但是一般人習慣寫成"Leibnitz"。晚年時期，他的簽名通常寫成"von Leibniz"，以示貴族身份。萊布尼茨死後，他的作品才公諸於世，作者名稱通常是"Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz."，但沒有人確定他是否確實有男爵的貴族頭銜。
萊布尼茨的父親是萊比錫大學的倫理學教授，在萊布尼茨6歲時去世，留下了一個私人的圖書館。12歲時自學拉丁文，並著手學習希臘文。14歲時進入萊比錫大學唸書，20歲時完成學業，專攻法律和一般大學課程。1666年他出版第一部有關於哲學方面的書籍，書名為《論組合術》(de arte combinatoria)。
微積分
現今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱:微積分的發明權屬於牛頓;1699年又說:牛頓是微積分的"第一發明人"。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發佈公告:"確認牛頓是微積分的第一發明人。"萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道:"在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半"
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道:"十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什麼不同，除了他的措詞和符號而外"(但在第三版及以後再版時，這段話被刪掉了)。因此，後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文(本文直到1846年才被發表)，總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之"位相分析學"(analysis situs)，是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關於萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文裡的話說:
儘管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的--當且僅當距離發生變化時點的位置發生相應的改變--他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文(1736年發表，解決了柯尼斯堡七橋問題及其推廣)中，卻是在"拓撲變形時點的位置不發生變化"的意義下使用"幾何位置"這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數學的這個分支領域的奠基人並不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說:
在 萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外，大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可 擋。在'填充理論'上即有例子，……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之後，我對他的狂熱更甚了。在"歐幾里德普羅塔"中……，其使得歐幾里德 公理更加嚴格，他陳述道，……'對直線，我有數種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性;這不僅適用 於曲線，而且適用於集合。'這個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何(由本華·曼德博發揚光大)理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持:大自然沒有跳躍(拉 丁語"natura non facit saltus"，英語"nature does not make jumps")。當萊布尼茨在他的形而上學著作中寫道，"直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的"，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至 於"填充理論"，萊布尼茨對他的朋友Des Bosses說，"你想像一個圓，然後用三個全等的最大半徑的圓填滿它，後來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充"。這個過程可以無限地繼續下 去，並由此生發出了自相似性的思想。萊布尼茨對於歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
符號思維
萊布尼茨有個顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運算，而這種運算可以解決看法上的差異:
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實，這樣我們能一眼就找出我們的錯誤，並且在人們有爭議的時候，我們可以簡單的說: 讓我們計算[calculemus]，而無須進一步的忙亂，就能看出誰是正確的。" (發現的藝術 1685,W 51)
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號邏輯，可以被看作使這種計算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄(帕金森1966年翻譯了它們)可以被看作是對符號邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 沒有出版這些著作，直到現代形式邏輯在 1880 年代於 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的學生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在 1847 開創這種邏輯之後了。